Googol là tên gọi của số 10 mũ 100, tức số 1 theo sau bởi 100 chữ số 0. Nó lớn hơn số nguyên tử ước tính trong toàn bộ vũ trụ quan sát được (khoảng 10 mũ 78 đến 10 mũ 82) hàng tỷ tỷ lần. Cái tên do một cậu bé chín tuổi nghĩ ra năm 1920, và về sau gián tiếp trở thành nguồn gốc tên của một công ty công nghệ nổi tiếng.
Nhưng googol chưa phải là lớn. Googolplex, 10 mũ googol, lớn đến mức không thể viết ra đầy đủ dù dùng mọi nguyên tử trong vũ trụ làm mực. Còn có những con số dùng trong chứng minh toán học lớn hơn googolplex xa đến mức phải phát minh ký hiệu mới để viết. Bài này dẫn bạn đi theo từng bậc, từ những con số khoa học thật sự dùng tới những con số chỉ toán học mới chạm tới.
Googol ra đời thế nào
Nhà toán học Mỹ Edward Kasner muốn có một ví dụ cho học sinh thấy sự khác biệt giữa "rất lớn" và "vô hạn". Theo lời kể của chính ông, khoảng năm 1920 ông hỏi cháu trai là Milton Sirotta, khi đó chín tuổi, nên đặt tên gì cho số 1 với 100 chữ số 0. Cậu bé đáp: "googol". Cũng cậu bé ấy đề xuất luôn "googolplex" cho một số còn lớn hơn nhiều.
Kasner và đồng tác giả James Newman giới thiệu hai từ này trong cuốn sách phổ biến toán học Mathematics and the Imagination năm 1940, và từ đó chúng đi vào từ điển. Thông điệp của Kasner là googol dù khổng lồ vẫn là một số hữu hạn, vẫn có thể viết ra trên một dòng; nó gần với 0 hơn là với vô hạn, vì mọi số hữu hạn đều như vậy.
Theo câu chuyện thường được kể về công ty, những người sáng lập Google lấy tên từ googol để nói về khối lượng thông tin khổng lồ muốn sắp xếp, và cách viết "Google" xuất phát từ một lần gõ khác đi so với googol. Dù chi tiết thế nào, đây là một trong những lần hiếm hoi một thuật ngữ toán học do trẻ em đặt tên trở thành từ quen thuộc của hàng tỷ người.
Thang bậc từ số thường tới googol
Để thấy googol nằm ở đâu, có thể đặt nó cạnh những con số khoa học thật sự dùng. Các giá trị dưới đây là ước tính phổ biến, chỉ chính xác về bậc độ lớn:
| Đại lượng | Bậc độ lớn | Ghi chú |
|---|---|---|
| Dân số thế giới | khoảng 10 mũ 10 (8 tỷ) | theo ước tính của Liên Hợp Quốc năm 2022 |
| Số tế bào trong cơ thể người | khoảng 10 mũ 13 | ước tính phổ biến khoảng 30 đến 40 nghìn tỷ |
| Số hạt cát trên các bãi biển Trái Đất | khoảng 10 mũ 18 đến 10 mũ 20 | ước tính rất thô, phụ thuộc cách tính |
| Số ngôi sao trong vũ trụ quan sát được | khoảng 10 mũ 22 đến 10 mũ 24 | ước tính thay đổi theo số thiên hà và số sao mỗi thiên hà |
| Số nguyên tử trên Trái Đất | khoảng 10 mũ 50 | |
| Số nguyên tử trong vũ trụ quan sát được | khoảng 10 mũ 78 đến 10 mũ 82 | ước tính từ khối lượng vật chất thường |
| Googol | 10 mũ 100 | không đếm một thứ gì cụ thể |
Bảng cho thấy googol nằm vượt ra ngoài mọi thứ có thể đếm được trong thế giới vật chất. Không có tập hợp vật thể thật nào có tới một googol phần tử. Muốn chạm tới googol, ta phải đếm những thứ trừu tượng hơn: các cách sắp xếp, các tổ hợp, các ván cờ có thể xảy ra.
Đó là lý do vì sao trong vật lý và thiên văn, hiếm khi cần con số nào vượt quá 10 mũ 100. Ngay cả tỷ lệ giữa kích thước vũ trụ quan sát được và độ dài nhỏ nhất có ý nghĩa vật lý (độ dài Planck) cũng chỉ vào khoảng 10 mũ 62.
Những con số còn lớn hơn: từ cờ vua tới googolplex
Năm 1950, Claude Shannon, cha đẻ của lý thuyết thông tin, ước lượng số ván cờ vua khác nhau có thể xảy ra vào khoảng 10 mũ 120, con số nay gọi là số Shannon. Ông tính thô: mỗi nước đi có khoảng 30 lựa chọn, một ván kéo dài khoảng 40 cặp nước, nên số ván vào cỡ 10 mũ 120. Đây là ước lượng thô dùng để lập luận rằng máy tính không thể giải cờ vua bằng cách thử hết mọi ván, không phải con số đếm chính xác. Số ván cờ đã vượt googol.
Cờ vây còn rộng hơn: năm 2016, nhà khoa học máy tính John Tromp và cộng sự tính được chính xác số thế cờ hợp lệ trên bàn 19 × 19, xấp xỉ 2,08 × 10 mũ 170. Đó là số thế cờ, chưa phải số ván, nhưng đã lớn hơn googol khoảng 10 mũ 70 lần. Sự rộng lớn này là một phần lý do vì sao cờ vây từng được coi là thành trì cuối cùng của con người trước máy tính.
Rồi đến googolplex: 10 mũ googol, tức số 1 theo sau bởi một googol chữ số 0. Nếu viết mỗi chữ số 0 lên một nguyên tử, bạn cần nhiều nguyên tử hơn cả vũ trụ quan sát được tới mức chênh lệch không thể diễn đạt bằng lời. Googolplex không thể viết ra đầy đủ trong vũ trụ này, nhưng toán học vẫn làm việc với nó dễ dàng, bằng ký hiệu.
Số Graham và những con số toán học vượt mọi tưởng tượng
Có những con số được dùng thật trong chứng minh toán học mà googolplex chỉ như số 0 bên cạnh. Nổi tiếng nhất là số Graham, đặt theo tên nhà toán học Ronald Graham, xuất hiện như một cận trên trong một bài toán thuộc lý thuyết Ramsey về cách tô màu các cạnh nối đỉnh của khối lập phương nhiều chiều. Sách kỷ lục Guinness năm 1980 từng ghi nhận nó là số lớn nhất được dùng trong một chứng minh toán học.
Số Graham lớn đến mức ký hiệu lũy thừa thông thường không đủ để viết. Người ta dùng ký hiệu mũi tên do Donald Knuth đề xuất năm 1976: một mũi tên là lũy thừa, hai mũi tên là lũy thừa chồng lũy thừa, ba mũi tên là chồng của chồng, và cứ thế. Số Graham được xây dựng qua 64 tầng, mỗi tầng dùng số mũi tên bằng kết quả của tầng trước. Không thể diễn tả nó bằng bất kỳ so sánh vật lý nào.
Điều thú vị là dù không ai biết hết các chữ số của số Graham, người ta vẫn tính được các chữ số tận cùng của nó, ví dụ nó kết thúc bằng chữ số 7, nhờ các tính chất của phép chia lấy dư. Còn có những con số lớn hơn số Graham đã được định nghĩa, như TREE(3) trong lý thuyết đồ thị. Thế giới số lớn trong toán học không có điểm dừng, vì với mọi số, luôn có thể cộng thêm 1.
Gọi tên số lớn: tiền tố đo lường mới nhất năm 2022
Trong khoa học và kỹ thuật, người ta không gọi số lớn bằng tên riêng như googol mà dùng tiền tố của Hệ đơn vị quốc tế (SI). Mỗi tiền tố gấp nghìn lần tiền tố trước:
- Kilo (10 mũ 3), mega (10 mũ 6), giga (10 mũ 9), tera (10 mũ 12): quen thuộc qua dung lượng ổ cứng và tốc độ mạng.
- Peta (10 mũ 15), exa (10 mũ 18): dùng cho lượng dữ liệu của các trung tâm dữ liệu lớn và tốc độ của siêu máy tính.
- Zetta (10 mũ 21), yotta (10 mũ 24): được thêm năm 1991, dùng khi nói về tổng dữ liệu toàn cầu hay khối lượng các hành tinh.
- Ronna (10 mũ 27) và quetta (10 mũ 30): được Đại hội Cân đo quốc tế thông qua tháng 11 năm 2022, lần bổ sung tiền tố đầu tiên sau hơn 30 năm, kèm theo hai tiền tố siêu nhỏ ronto (10 mũ âm 27) và quecto (10 mũ âm 30).
Với quetta, khối lượng Trái Đất có thể viết là khoảng 6 ronnagram, khối lượng Sao Mộc khoảng 1,9 quettagram. Dù vậy, googol vẫn nằm ngoài xa tiền tố lớn nhất: 10 mũ 100 lớn hơn một quetta tới 10 mũ 70 lần. Khoa học thật hiếm khi cần tới đó, nên chưa có ai đề xuất tiền tố cho googol.
Hiểu nhầm hay gặp về số lớn
"Googol là số lớn nhất." Không có số lớn nhất. Googol chỉ là số lớn được đặt tên vui; googol cộng 1, googol nhân 2, googolplex đều lớn hơn nó. Mọi số hữu hạn, dù lớn đến đâu, đều nhỏ hơn vô hạn một cách tuyệt đối.
"Vô hạn là một con số rất lớn." Vô hạn không phải là một số tự nhiên, và không thể đạt tới bằng cách đếm. Toán học có cách làm việc chặt chẽ với các loại vô hạn khác nhau, nhưng đó là một lĩnh vực riêng, không phải phần nối dài của googol.
"Số lớn chỉ là trò chơi, không có ích gì." Số rất lớn xuất hiện thật trong mật mã học: độ an toàn của mã hoá hiện đại dựa trên việc số khoá có thể có lớn tới mức không máy tính nào thử hết được, ví dụ khoá 256 bit có 2 mũ 256 khả năng, xấp xỉ 10 mũ 77.
"Số nguyên tử trong vũ trụ được biết chính xác." Đó chỉ là ước tính bậc độ lớn, dựa trên mật độ vật chất trung bình và kích thước vũ trụ quan sát được, nên sai số có thể lên tới vài bậc lũy thừa. Các nguồn khác nhau đưa ra từ 10 mũ 78 đến 10 mũ 82.
Câu hỏi thường gặp
Googol có bao nhiêu chữ số?
Googol viết đầy đủ có 101 chữ số: một chữ số 1 và 100 chữ số 0. Nếu viết trên giấy với mỗi chữ số rộng chừng 3 mm, dãy số dài khoảng 30 cm, vừa một trang vở. Googol rất dễ viết, điều khó là hình dung nó, vì không có tập hợp vật thể nào thật sự có tới googol phần tử.
Googolplex có thể viết ra được không?
Không thể viết đầy đủ trong vũ trụ quan sát được. Googolplex có googol cộng 1 chữ số, nhiều hơn số nguyên tử trong vũ trụ rất nhiều lần. Kể cả khi viết mỗi chữ số lên một hạt nhỏ nhất có thể, vẫn không đủ chỗ. Chỉ có thể viết nó bằng ký hiệu gọn như 10 mũ 10 mũ 100.
Tên Google có thật sự đến từ googol không?
Theo những gì công ty và các tài liệu công khai kể lại, tên Google được lấy cảm hứng từ googol, nhằm nói về lượng thông tin khổng lồ trên mạng. Một số câu chuyện còn kể rằng cách viết hiện nay xuất phát từ một lần gõ khác. Chi tiết nhỏ có thể khác nhau giữa các nguồn, nhưng mối liên hệ với googol được ghi nhận rộng rãi.
Vì sao các nhà khoa học dùng ký hiệu 10 mũ thay vì tên gọi?
Ký hiệu lũy thừa của 10 gọn, không phụ thuộc ngôn ngữ và dễ nhân chia: nhân hai số chỉ cần cộng số mũ. Tên gọi như tỷ hay billion lại khác nhau giữa các nước và các thang đếm, dễ gây nhầm lẫn. Vì vậy sách khoa học hầu như luôn ghi kiểu 6,02 × 10 mũ 23 thay vì đọc bằng chữ.
Số lớn nhất từng được tính chính xác từng chữ số là bao nhiêu?
Những con số được biết đầy đủ chữ số và rất lớn thường là các số nguyên tố Mersenne có dạng 2 mũ p trừ 1. Số nguyên tố lớn nhất được biết tới thời điểm gần đây có hơn 41 triệu chữ số, tìm được năm 2024 nhờ dự án tính toán phân tán GIMPS. Con số này sẽ thay đổi khi có phát hiện mới.
Trẻ em học về số lớn có ích gì?
Hiểu bậc độ lớn giúp trẻ đọc số liệu tỉnh táo hơn, ước lượng nhanh, và hiểu vì sao mật khẩu dài an toàn hơn mật khẩu ngắn. Những con số như googol còn là cửa ngõ thú vị dẫn vào lũy thừa, ký hiệu khoa học và khái niệm vô hạn, theo cách vui hơn nhiều so với bài tập khô khan.