Xác suất trúng xổ số được tính thế nào: chọn 6 số trong 45 là 1 phần hơn 8 triệu

Với kiểu xổ số chọn 6 số trong 45, xác suất một vé trùng đủ cả 6 số là 1 trên 8.145.060, vì có đúng chừng ấy cách chọn 6 số khác nhau từ 45 số. Nếu mỗi kỳ chỉ mua một vé và mỗi tuần quay ba kỳ, trung bình phải chờ khoảng 52.000 năm mới tới một lần trúng giải lớn nhất. Kiểu chọn 6 số trong 55 khó hơn gấp khoảng 3,6 lần: 1 trên 28.989.675.

Bài này giải thích cách đếm ra những con số đó bằng phép tính tổ hợp có trong chương trình toán phổ thông, cách hình dung chúng, và vì sao những chiến thuật phổ biến như "chọn số lâu chưa về" không thay đổi được xác suất. Mục đích là hiểu toán, không phải để khuyến khích mua vé hay hướng dẫn chơi.

Phép đếm tổ hợp: 8.145.060 từ đâu ra

Hãy bắt đầu bằng câu hỏi: có bao nhiêu cách chọn 6 số khác nhau từ 45 số? Nếu thứ tự có ý nghĩa, số đầu tiên có 45 lựa chọn, số thứ hai còn 44, rồi 43, 42, 41, 40. Nhân lại được 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5.864.443.200 cách sắp có thứ tự.

Nhưng với vé số, bộ 3-7-12-25-33-41 và bộ 41-33-25-12-7-3 là một. Mỗi bộ 6 số có 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 cách sắp xếp, nên phải chia cho 720 để bỏ các lần đếm trùng. Kết quả là 5.864.443.200 : 720 = 8.145.060. Trong toán học, con số này gọi là tổ hợp chập 6 của 45, viết là C(45, 6).

Vì máy quay số chọn ngẫu nhiên và mọi bộ đều có cơ hội như nhau, một vé chỉ đúng một trong 8.145.060 bộ, xác suất trúng là 1/8.145.060, khoảng 0,0000123%. Cùng cách tính, chọn 6 trong 55 cho C(55, 6) = 28.989.675 bộ. Chỉ thêm 10 số vào lồng cầu mà số bộ tăng gần 3,6 lần, vì số tổ hợp tăng rất nhanh khi tổng số tăng.

Xác suất trùng một phần: không chỉ có trúng hoặc trượt

Nhiều trò xổ số trả thưởng cho cả vé trùng một phần. Dưới đây là xác suất để một vé chọn 6 trong 45 trùng đúng k số, tính bằng cách đếm: chọn k số đúng từ 6 số trúng, nhân với số cách chọn các số còn lại từ 39 số không trúng:

Bảng cho thấy một điều trực giác thường bỏ qua: trùng 5 số khó gấp khoảng 47 lần trùng 4 số, còn trùng đủ 6 số khó gấp 234 lần trùng 5 số. Cảm giác "suýt trúng" khi lệch một số thật ra là cảm giác đánh lừa, vì giữa 5 và 6 là một khoảng cách rất lớn.

Cơ cấu giải thưởng (giải nào, trùng mấy số, chia thế nào) mỗi trò mỗi khác và có thể thay đổi; bảng trên chỉ là phép đếm thuần tuý cho một vé, không gắn với quy định của trò cụ thể nào.

Hình dung 1 trên 8 triệu

Con số 8.145.060 vượt khỏi trải nghiệm thường ngày, nên cần vài phép so sánh cụ thể:

• Chọn đúng một giây: 8.145.060 giây là khoảng 94 ngày. Trúng giải lớn nhất giống như có người chọn bí mật một giây bất kỳ trong ba tháng rưỡi, và bạn phải đoán trúng đúng giây đó.
• Mua vé suốt đời: một người mua mỗi kỳ một vé, mỗi tuần ba kỳ, chơi đều 60 năm sẽ có khoảng 9.360 vé. Xác suất trúng ít nhất một lần trong cả đời ấy vào khoảng 0,11%, tức gần 1 trên 870.
• Xếp hàng người: 8,1 triệu người là cỡ dân số Hà Nội. Trúng giải giống như được bốc thăm chọn ra đúng một người trong cả thành phố ấy.
• So với rủi ro quen thuộc: theo ước tính của Cơ quan Khí quyển và Đại dương Mỹ (NOAA), xác suất một người ở Mỹ bị sét đánh trong cả đời khoảng 1 trên 15.300, tức dễ xảy ra hơn trúng 6/45 bằng một vé tới hơn 500 lần.

Những so sánh này không nhằm chế giễu người mua vé, mà để giúp đặt con số vào đúng bậc của nó. Hiểu rõ bậc độ lớn là bước đầu tiên của tư duy xác suất lành mạnh.

Giá trị kỳ vọng: vì sao về lâu dài người mua luôn thiệt

Giá trị kỳ vọng là số tiền trung bình nhận về trên mỗi vé nếu mua rất nhiều lần. Cách tính: lấy từng mức giải nhân với xác suất trúng mức đó, cộng lại, rồi so với tiền vé. Các tổ chức phát hành xổ số ở mọi nước đều thiết kế sao cho tổng tiền trả thưởng nhỏ hơn tổng tiền bán vé, vì phần chênh lệch dùng cho chi phí vận hành và nộp ngân sách hoặc quỹ công.

Ví dụ giả định: một trò bán vé 10 đơn vị và trung bình trả lại 5 đơn vị cho mỗi vé dưới dạng giải thưởng. Giá trị kỳ vọng của một vé là âm 5 đơn vị. Mua một vé, kết quả có thể là mất 10 hoặc trúng lớn; mua một nghìn vé, kết quả gần như chắc chắn là mất khoảng một nửa số tiền. Đó là nội dung của luật số lớn: càng nhiều lần thử, kết quả trung bình càng tiến sát giá trị kỳ vọng.

Khi giải độc đắc cộng dồn qua nhiều kỳ lên rất cao, có người tính được giá trị kỳ vọng "tạm thời dương". Thực tế, giải lớn thường kéo nhiều người mua hơn, làm tăng khả năng phải chia giải, cộng thêm thuế thu nhập và việc nhận tiền chia kỳ ở một số nước, nên con số kỳ vọng thật thường vẫn không như tính nhẩm. Đây là lý do các nhà toán học coi vé số là một khoản chi giải trí chứ không phải một khoản đầu tư.

Những niềm tin phổ biến mà toán học không ủng hộ

"Số lâu chưa về thì sắp về." Đây là ngụy biện con bạc (gambler's fallacy). Lồng cầu không có trí nhớ; mỗi kỳ quay độc lập với kỳ trước. Một số đã vắng 30 kỳ vẫn có cơ hội ra ở kỳ tới đúng bằng mọi số khác. Cảm giác "đến lượt" chỉ là não người tìm quy luật trong chuỗi ngẫu nhiên.

"Số vừa về thì khó về lại." Mặt trái của niềm tin trên, cũng sai cùng lý do. Bộ số kỳ trước đúng bằng mọi bộ khác ở kỳ này. Ở nhiều nước từng có kỳ quay ra lại đúng bộ số của kỳ trước đó, chuyện được báo chí đưa tin vì hiếm, nhưng về xác suất không hiếm hơn bất kỳ bộ nào.

"Bộ 1-2-3-4-5-6 không bao giờ trúng." Bộ dãy liên tiếp trông "không ngẫu nhiên" nhưng xác suất y hệt bộ trông lộn xộn. Điều khác biệt duy nhất: nếu bộ ấy trúng, rất nhiều người cùng chọn nên mỗi người được chia phần nhỏ.

"Có phần mềm, có công thức soi cầu." Không phép phân tích kết quả cũ nào dự đoán được kết quả quay ngẫu nhiên độc lập. Những dịch vụ bán "công thức" kiếm tiền từ người mua công thức, không phải từ việc trúng giải.

"Mua nhiều vé thì chắc trúng." Mua 100 vé khác nhau thì xác suất tăng gấp 100 lần, từ 1/8.145.060 lên khoảng 1/81.450, vẫn là rất nhỏ, trong khi tiền bỏ ra tăng đúng 100 lần.

Có cách nào "chơi khôn" hơn về mặt toán học

Câu trả lời trung thực: không có cách nào làm tăng xác suất trúng của một vé. Điều duy nhất toán học gợi ý được là tránh phải chia giải nếu trúng. Các nghiên cứu về hành vi chọn số ở nhiều nước cho thấy người chơi hay chọn ngày sinh, ngày cưới, nên các số từ 1 đến 31 bị chọn nhiều hơn hẳn các số lớn. Bộ số toàn số lớn hơn 31 ít người chọn hơn, nên nếu trúng thì ít bị chia hơn, nhưng xác suất trúng thì vẫn y nguyên.

Điều quan trọng hơn là đặt giới hạn. Nếu coi vé số là một thú vui, hãy coi số tiền mua vé như tiền xem một bộ phim: tiêu xong là xong, không tính lấy lại. Những dấu hiệu cần dừng lại gồm mua để gỡ khoản đã mất, vay tiền để mua, giấu người thân, hoặc thấy bứt rứt khi không mua. Khi rơi vào tình trạng đó, nên nói chuyện với người thân hoặc tìm tới chuyên gia tư vấn tâm lý.

Quan trọng không kém là dạy trẻ em và thanh thiếu niên hiểu xác suất qua chính những ví dụ như thế này. Một học sinh tự tính được C(45, 6) và hiểu ý nghĩa của giá trị kỳ vọng âm sẽ khó bị lôi kéo bởi những lời quảng cáo "làm giàu nhanh" hơn rất nhiều so với một lời cấm đơn thuần.

Xác suất nhỏ như vậy, sao kỳ nào cũng nghe có người trúng

Đây là chỗ hai góc nhìn hay bị trộn lẫn: xác suất để bạn trúng và xác suất để ai đó trúng. Giả định một kỳ bán ra 5 triệu vé với bộ số chọn ngẫu nhiên (ví dụ giả định). Số người trúng trung bình là 5.000.000 : 8.145.060, khoảng 0,61 người, và xác suất có ít nhất một người trúng vào khoảng 46%. Cứ hai kỳ lại có gần một kỳ có người trúng, dù với từng người, cơ hội vẫn là 1 trên hơn 8 triệu.

Hiện tượng này còn được gọi vui là "luật của những con số thật lớn": một chuyện cực hiếm với từng cá nhân trở nên gần như chắc chắn xảy ra khi có đủ nhiều người cùng thử. Báo chí đưa tin người trúng, không ai đưa tin hàng triệu người không trúng, nên ấn tượng của người đọc là trúng giải không đến nỗi hiếm. Đó là thiên kiến người sống sót trong đời thường: ta chỉ nghe thấy câu chuyện của người thắng.

Câu hỏi thường gặp

Xổ số kiến thiết truyền thống có xác suất trúng giải đặc biệt là bao nhiêu?

Nếu chỉ xét dãy 6 chữ số từ 000000 đến 999999, có một triệu dãy khác nhau, nên mỗi vé có xác suất 1 trên 1.000.000 trùng dãy giải đặc biệt. Con số thực tế phụ thuộc vào cách phát hành của từng đơn vị, như số sê-ri hay số lượng vé in, nên đây chỉ là phép tính nguyên tắc.

Vì sao phải chia cho 720 khi tính tổ hợp?

Vì 720 là số cách sắp xếp 6 số khác nhau theo thứ tự, bằng 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, còn gọi là 6 giai thừa. Khi đếm theo thứ tự, mỗi bộ số bị đếm lặp 720 lần dưới những thứ tự khác nhau. Chia cho 720 để mỗi bộ chỉ được đếm một lần, vì vé số không quan tâm thứ tự.

Hai vé cùng một bộ số có tăng xác suất không?

Không. Hai vé giống hệt nhau chỉ phủ một bộ số, nên xác suất có ít nhất một vé trúng vẫn là 1 trên 8.145.060. Điều thay đổi là nếu trúng, bạn được hai phần của giải. Muốn tăng xác suất thì phải mua các bộ khác nhau, và mỗi bộ thêm chỉ góp thêm đúng 1/8.145.060.

Máy quay số có thực sự ngẫu nhiên không?

Các tổ chức phát hành thường dùng lồng cầu cơ học có kiểm định, quay công khai, hoặc phần mềm tạo số ngẫu nhiên được kiểm toán độc lập, tuỳ trò. Mục tiêu là mọi bộ số có cơ hội như nhau. Người chơi không thể tự kiểm tra trực tiếp, nhưng thống kê dài hạn của các kết quả công bố thường không cho thấy số nào ra nhiều bất thường.

Có nên dạy trẻ tính xác suất bằng ví dụ xổ số không?

Ví dụ xổ số là cách sinh động để dạy tổ hợp và giá trị kỳ vọng, với điều kiện trọng tâm là hiểu vì sao người mua thiệt về lâu dài. Có thể thay bằng ví dụ trung tính như rút thăm trong lớp hay tung xúc xắc nếu gia đình không muốn nhắc tới vé số.

Ngụy biện con bạc và luật số lớn có mâu thuẫn không?

Không. Luật số lớn nói tỷ lệ trung bình tiến về xác suất thật khi số lần thử rất lớn, nhưng không phải nhờ các kết quả "bù" cho nhau. Nó xảy ra vì những chênh lệch ban đầu bị pha loãng bởi hàng nghìn, hàng triệu lần thử sau. Mỗi lần quay riêng lẻ vẫn độc lập hoàn toàn.