Gấp tờ giấy 42 lần có chạm tới Mặt Trăng: phép nhân đôi và vì sao không ai gấp nổi

Đúng về mặt tính toán: một tờ giấy dày 0,1 mm nếu gấp đôi được 42 lần sẽ dày khoảng 439.800 km, vượt khoảng cách trung bình từ Trái Đất tới Mặt Trăng là khoảng 384.400 km. Lý do là mỗi lần gấp, độ dày nhân đôi, và nhân đôi 42 lần là nhân với hơn 4,39 nghìn tỷ. Gấp 41 lần thì mới được khoảng 220.000 km, chưa tới nơi.

Trên thực tế, không ai gấp nổi một tờ giấy quá vài chục lần, vì chiều dài giấy cần có tăng còn nhanh hơn cả độ dày. Kỷ lục được ghi nhận rộng rãi chỉ là 12 và 13 lần, với những cuộn giấy dài hàng km. Phép tính này vì vậy không phải mẹo, mà là một trong những minh hoạ rõ nhất về sức mạnh của tăng theo cấp số nhân.

Mỗi lần gấp, tờ giấy dày lên bao nhiêu

Giả định tờ giấy dày 0,1 mm (gần đúng với giấy in thông thường). Sau n lần gấp, số lớp là 2 mũ n, độ dày bằng số lớp nhân 0,1 mm:

Điều đáng chú ý nhất trong bảng là khoảng cách giữa các dòng. Từ lần gấp 7 tới lần 23, độ dày đi từ một cuốn vở lên gần một km. Chỉ thêm 19 lần nữa, nó đã tới Mặt Trăng. Mỗi lần gấp không cộng thêm 0,1 mm, mà cộng thêm đúng bằng toàn bộ độ dày đang có.

Muốn kiểm tra, bạn chỉ cần nhớ 2 mũ 10 xấp xỉ 1.000. Vậy 2 mũ 40 xấp xỉ 10 mũ 12, nhân 4 (2 mũ 2) ra khoảng 4 × 10 mũ 12 lớp, nhân 0,1 mm ra khoảng 4 × 10 mũ 8 m, tức 400.000 km. Một phép nhẩm đủ để thấy câu chuyện không phóng đại.

Vì sao trên thực tế không gấp nổi quá vài lần

Thử với một tờ A4, phần lớn mọi người dừng lại ở lần thứ sáu hoặc bảy. Lý do không chỉ là lực tay. Mỗi lần gấp, mặt giấy chỉ còn một nửa, trong khi độ dày gấp đôi. Sau 7 lần, tờ A4 chỉ còn một mẩu cỡ vài centimét vuông nhưng dày 128 lớp, gần như một khối vuông cứng; nếp gấp tiếp theo đòi hỏi uốn cong cả khối ấy.

Vấn đề sâu hơn là ở chỗ nếp gấp. Khi gấp một chồng giấy dày, các lớp ngoài phải ôm vòng quanh các lớp trong, nên mỗi nếp gấp "ăn" mất một đoạn chiều dài. Ở lần gấp thứ n, đoạn bị ăn tỷ lệ với độ dày, mà độ dày thì tăng theo 2 mũ n. Cộng dồn lại, tổng chiều dài giấy cần có tăng gần theo 4 mũ n, nhanh hơn nhiều so với độ dày.

Nói cách khác, để gấp được 42 lần, bạn không chỉ cần sức mạnh phi thường, mà còn cần một dải giấy dài đến mức không hình dung nổi, theo công thức ở mục dưới thì dài cỡ 100.000 năm ánh sáng, xấp xỉ đường kính cả dải Ngân Hà. Câu hỏi "gấp 42 lần thì chạm Mặt Trăng" vì vậy là một thí nghiệm tưởng tượng, đúng về số học nhưng không thể làm thật.

Britney Gallivan và kỷ lục 12 lần

Trong nhiều năm, người ta tin rằng không thể gấp đôi một tờ giấy quá 7 hay 8 lần. Năm 2002, Britney Gallivan, khi đó là một học sinh trung học ở bang California (Mỹ), quyết định thử thách niềm tin ấy bằng toán học. Cô thử trước với lá vàng mỏng, loại vật liệu dễ gấp hơn giấy nhiều, rồi mới chuyển sang giấy thường.

Điều làm nên tên tuổi của Gallivan không chỉ là kỷ lục, mà là công thức. Cô tính được chiều dài tối thiểu một dải giấy cần có để gấp n lần theo một chiều, với giấy độ dày t: chiều dài bằng (π × t / 6) × (2 mũ n + 4) × (2 mũ n − 1). Biểu thức này cho thấy rõ chiều dài cần thiết tăng gần như theo bình phương của 2 mũ n. Dựa vào đó, cô chuẩn bị một cuộn giấy vệ sinh đặc biệt dài khoảng 1,2 km và cùng gia đình gấp được 12 lần theo một chiều, mất nhiều giờ đồng hồ.

Kỷ lục này về sau được những nhóm khác thử vượt. Một chương trình khoa học truyền hình Mỹ năm 2007 gấp một tấm giấy cỡ sân bóng được 11 lần, có dùng cả xe lu để ép nếp. Năm 2012, một nhóm học sinh ở bang Massachusetts được báo chí ghi nhận gấp được 13 lần với một cuộn giấy dài hàng km trong hành lang trường. Từ 12 lên 13 lần đã cần chiều dài gấp khoảng bốn lần, đúng như công thức dự đoán.

Tăng gấp đôi trong đời sống: chỗ phép tính gấp giấy trở nên hữu ích

Phép gấp giấy là cách dễ nhớ để hiểu một kiểu tăng trưởng mà trực giác người thường đánh giá thấp. Kiểu tăng này có mặt ở nhiều nơi:

• Vi khuẩn sinh sôi: trong điều kiện thuận lợi, một số loài vi khuẩn chia đôi sau mỗi 20 phút. Một tế bào sau 10 giờ có thể thành hàng tỷ, đó là lý do thức ăn để ở nhiệt độ phòng nguy hiểm nhanh hơn ta nghĩ.
• Tin đồn và dịch bệnh: nếu mỗi người truyền cho hai người mới, số người biết hay số ca nhiễm tăng như số lớp giấy. Giai đoạn đầu trông chậm, nhưng khi đã thấy rõ thì thời gian còn lại rất ít.
• Bèo phủ ao: một bài toán cổ kể về đám bèo nhân đôi mỗi ngày, phủ kín ao trong 30 ngày. Hỏi ngày nào bèo phủ nửa ao? Câu trả lời là ngày 29, chỉ một ngày trước khi kín ao.
• Công nghệ chip: nhận định của Gordon Moore (1965, điều chỉnh năm 1975) rằng số transistor trên một con chip tăng gấp đôi khoảng hai năm một lần đã đúng trong nhiều thập niên, dẫn tới máy tính bỏ túi ngày nay mạnh hơn cả phòng máy thời trước.

Điểm chung là giai đoạn cuối luôn diễn ra rất nhanh so với giai đoạn đầu. Người hiểu phép gấp giấy sẽ không nói "mới có 1%, còn xa lắm" khi con số đang nhân đôi đều đặn, vì 1% chỉ cách 100% có khoảng bảy lần nhân đôi.

Chiều ngược lại: chia đôi cũng nhanh không kém

Gấp giấy là nhân đôi; mặt kia của nó là chia đôi, và chia đôi cũng đi xa bất ngờ. Cắt đôi một tờ giấy dài 30 cm, lấy một nửa cắt đôi tiếp, cứ thế. Sau khoảng 18 lần, mảnh giấy chỉ còn dài cỡ 1 micromet, ngang một con vi khuẩn. Sau khoảng 30 lần, nó nhỏ cỡ một phần tỷ chiều dài ban đầu, chừng 0,3 nanomet, tức đã chạm kích thước nguyên tử và không thể cắt tiếp.

Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ dựa đúng trên ý tưởng này: sau mỗi chu kỳ, một nửa lượng chất còn lại phân rã. Sau 10 chu kỳ còn khoảng một phần nghìn, sau 20 chu kỳ còn khoảng một phần triệu. Phương pháp xác định tuổi bằng carbon-14, với chu kỳ bán rã khoảng 5.730 năm, dùng chính phép chia đôi lặp lại để tính tuổi những mẫu xương, gỗ hàng chục nghìn năm.

Hiểu cả hai chiều giúp đọc những con số như "giảm một nửa" hay "tăng gấp đôi" một cách tỉnh táo. Giảm một nửa năm lần liền không phải giảm 250%, mà là còn khoảng 3% so với ban đầu; tăng gấp đôi mười lần là gấp hơn 1.000 lần chứ không phải gấp 20 lần.

Vì sao trực giác đánh giá thấp phép nhân đôi

Hỏi nhanh một nhóm người "gấp tờ giấy 42 lần thì dày cỡ nào", câu trả lời phổ biến thường là vài mét, cỡ một toà nhà, hiếm ai nghĩ tới hàng trăm nghìn kilomet. Các nhà tâm lý học gọi đây là thiên kiến tăng trưởng tuyến tính (exponential growth bias): khi ước lượng một đại lượng đang nhân lên, não người có xu hướng hình dung nó như đang cộng thêm đều đặn. Hiện tượng này đã được nghiên cứu từ thập niên 1970 và lặp lại trong nhiều thí nghiệm về lãi suất, nợ, dân số và dịch bệnh.

Nguyên nhân có thể nằm ở trải nghiệm hằng ngày: phần lớn những gì ta gặp tăng theo kiểu cộng, như tuổi tác, quãng đường đi bộ, số trang sách đã đọc. Tăng theo kiểu nhân hiếm khi kéo dài đủ lâu trong đời sống để ta quen. Ở những bước đầu, hai kiểu tăng gần như không phân biệt được; khác biệt chỉ lộ ra khi đã quá muộn để điều chỉnh trực giác.

Cách chữa đơn giản nhất là tập ước lượng bằng số lần nhân đôi thay vì bằng con số. Hỏi "cần bao nhiêu lần nhân đôi để tới đó" thay vì "nó lớn tới đâu". Từ 1 lên 1.000 là khoảng 10 lần nhân đôi, lên một triệu là khoảng 20 lần, lên một tỷ là khoảng 30 lần. Với mốc này, câu chuyện tờ giấy chạm Mặt Trăng sau 42 lần gấp trở nên hợp lý ngay trong đầu.

Câu hỏi thường gặp

Tờ giấy A4 gấp được tối đa mấy lần?

Với tờ A4 giấy in thông thường, phần lớn người dùng tay gấp được 6 hoặc 7 lần. Có dụng cụ ép và kỹ thuật tốt, có thể được thêm một lần. Lý do là sau 7 lần đã có 128 lớp chồng lên nhau trên một diện tích rất nhỏ, nếp gấp tiếp theo cần uốn cong cả khối giấy dày và chiều dài giấy không còn đủ.

Vì sao phải đúng 42 lần mà không phải 40?

Vì 2 mũ 40 nhân 0,1 mm chỉ khoảng 110.000 km, 2 mũ 41 khoảng 220.000 km, đều chưa tới Mặt Trăng ở khoảng 384.400 km. Phải tới 2 mũ 42, độ dày khoảng 439.800 km mới vượt qua. Nếu giấy dày hơn, ví dụ 0,2 mm, thì 41 lần đã đủ; con số 42 phụ thuộc vào độ dày giả định.

Gấp giấy và lãi kép có giống nhau không?

Giống nhau ở bản chất là tăng theo cấp số nhân: mỗi bước nhân với một hệ số cố định. Khác ở chỗ gấp giấy nhân đôi mỗi bước, còn lãi kép thường nhân với hệ số nhỏ như 1,05 hay 1,08 mỗi năm, nên cần nhiều năm mới gấp đôi. Quy tắc nhẩm 72 chia lãi suất phần trăm cho biết số năm để gấp đôi một khoản.

Có ai đã thử gấp giấy bằng máy chưa?

Có những thí nghiệm dùng máy ép thuỷ lực ép một tờ giấy đã gấp nhiều lần. Ở lần gấp thứ bảy, tám, chồng giấy cứng như gỗ và khi ép tiếp thì vỡ vụn thay vì gấp được. Những video này cho thấy giới hạn không chỉ nằm ở lực, mà ở bản chất vật liệu và chiều dài cần có.

Cấp số nhân khác cấp số cộng thế nào?

Cấp số cộng tăng bằng cách cộng thêm một lượng cố định mỗi bước, ví dụ 2, 4, 6, 8. Cấp số nhân tăng bằng cách nhân với một hệ số cố định, ví dụ 2, 4, 8, 16. Ban đầu hai dãy trông gần giống nhau, nhưng sau vài chục bước, cấp số nhân bỏ xa cấp số cộng tới mức không thể so sánh.

Câu chuyện gấp giấy chạm Mặt Trăng có từ khi nào?

Không rõ ai nêu đầu tiên; nó là bài toán phổ biến trong sách toán vui và bài giảng về cấp số nhân, được chia sẻ rộng trên mạng. Điều chắc chắn là phép tính đúng với giả định giấy dày 0,1 mm, và bài học về tốc độ tăng theo cấp số nhân không phụ thuộc vào nguồn gốc câu chuyện.