Dãy Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…) có thật trong tự nhiên, rõ nhất ở cách thực vật xếp hạt, vảy và lá: số đường xoắn trên hoa hướng dương, quả thông, quả dứa thường là hai số Fibonacci liền nhau. Tỷ số giữa hai số liền nhau trong dãy tiến dần tới khoảng 1,618, con số được gọi là tỷ lệ vàng.
Nhưng nhiều ví dụ hay được kể thì sai hoặc phóng đại: vỏ ốc anh vũ không theo tỷ lệ vàng, cơ thể người không chia theo 1,618, thiên hà và cơn bão xoắn ốc chẳng liên quan gì tới Fibonacci. Bài này tách phần có bằng chứng ra khỏi phần đồn thổi, và giải thích cơ chế vì sao cây cối lại "biết" đếm Fibonacci.
Dãy Fibonacci và con số 1,618
Dãy được đặt theo tên Leonardo ở thành Pisa, thường gọi là Fibonacci, người đưa nó vào cuốn Liber Abaci năm 1202 qua bài toán nuôi thỏ: mỗi cặp thỏ trưởng thành sinh một cặp mới mỗi tháng, thỏ con sau một tháng thì trưởng thành. Đếm số cặp theo tháng sẽ ra 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… vì mỗi số bằng tổng hai số đứng trước. Dãy này thực ra đã xuất hiện trong các tài liệu toán và thi ca Ấn Độ từ nhiều thế kỷ trước đó.
Lấy một số chia cho số đứng trước: 3/2 = 1,5; 5/3 ≈ 1,667; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 ≈ 1,615; 34/21 ≈ 1,619. Các tỷ số dao động ngày càng hẹp quanh 1,6180339…, con số được ký hiệu bằng chữ Hy Lạp phi (φ) và bằng (1 + căn 5) / 2. Đây là tỷ lệ vàng: chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho cả đoạn so với phần dài bằng phần dài so với phần ngắn.
Điều đáng nói là tính chất này không riêng gì dãy Fibonacci. Bất kỳ dãy nào bắt đầu bằng hai số dương rồi cộng dồn kiểu "số sau bằng tổng hai số trước" cũng sẽ có tỷ số tiến về 1,618. Vì thế khi thấy một hiện tượng tự nhiên tạo ra các số Fibonacci, câu hỏi thú vị không phải "vì sao lại là tỷ lệ vàng" mà là "cơ chế nào trong cây tạo ra phép cộng dồn".
Hoa hướng dương, quả thông, quả dứa: bằng chứng rõ nhất
Nhìn kỹ một bông hướng dương già, bạn sẽ thấy hạt xếp thành hai họ đường xoắn, một họ xoắn theo chiều kim đồng hồ, một họ ngược chiều. Đếm số đường xoắn mỗi họ, kết quả thường là cặp số Fibonacci liền nhau như 34 và 55, hay 55 và 89 với những bông rất to. Quả thông thường có 8 và 13 đường xoắn vảy; quả dứa có các họ mắt xếp theo 8, 13 và 21 hàng nghiêng. Bông súp lơ xanh Romanesco, loại có hình chóp nhọn, cũng có số xoắn Fibonacci và mỗi chóp nhỏ lại là bản thu nhỏ của cả bông.
Bằng chứng này đã được kiểm tra trên quy mô lớn. Dự án khoa học cộng đồng Turing's Sunflowers ở Anh thu thập và đếm hàng trăm bông hướng dương do người dân trồng, công bố kết quả năm 2016. Phần lớn bông có số xoắn là số Fibonacci hoặc gần với dãy, nhưng khoảng một phần năm bông có mẫu không theo Fibonacci hoặc không đếm được rõ ràng. Nghĩa là quy luật này là xu hướng mạnh, không phải luật tuyệt đối.
Số cánh hoa cũng hay được nêu: hoa loa kèn 3 cánh, mao lương 5 cánh, nhiều loài cúc có 13, 21 hay 34 cánh. Nhưng ngoại lệ cũng nhiều: cả họ Cải (rau cải, súp lơ, cải bắp khi ra hoa) có 4 cánh, hoa đào và hoa mai trồng thường gặp 5 cánh nhưng giống lai có thể nhiều hơn. Đếm cánh hoa là cách minh hoạ vui nhưng không phải bằng chứng tốt bằng đếm đường xoắn.
Cơ chế: góc vàng 137,5 độ và chuyện chen chỗ
Ở đỉnh sinh trưởng của cây, các mầm mới (sau thành lá, cánh hoa, hạt) lần lượt nhú ra quanh một tâm. Mỗi mầm mới mọc lệch so với mầm trước một góc gần như cố định, và ở rất nhiều loài, góc ấy xấp xỉ 137,5 độ, gọi là góc vàng, bằng 360 độ chia cho bình phương của 1,618 (hay 360 độ trừ đi 360/1,618). Với góc này, không mầm nào nằm thẳng hàng ngay phía trên mầm cũ, nên các mầm lấp kín vòng tròn đều nhất có thể.
Vì sao cây lại chọn đúng góc này? Câu trả lời hiện nay là cây không "chọn", mà góc ấy tự hiện ra từ quy tắc đơn giản: mầm mới mọc ở chỗ còn trống nhất, xa các mầm vừa mọc. Thí nghiệm của hai nhà vật lý Stéphane Douady và Yves Couder công bố năm 1992 thả những giọt chất lỏng nhiễm từ đẩy nhau vào một đĩa theo nhịp đều; các giọt tự sắp thành đường xoắn với góc lệch gần 137,5 độ và số xoắn Fibonacci, dù không ai cài con số đó vào.
Ở cấp phân tử, các nghiên cứu sinh học thực vật đầu những năm 2000 cho thấy hormone tăng trưởng auxin bị các mầm vừa mọc hút cạn ở vùng lân cận, nên mầm tiếp theo chỉ có thể nhú ở chỗ auxin còn tích tụ, tức chỗ xa các mầm cũ. Quy tắc "mọc ở chỗ trống" vì vậy có nền tảng hoá học cụ thể. Phép cộng dồn Fibonacci xuất hiện như hệ quả hình học của việc chen chỗ hiệu quả, không phải vì cây biết làm toán.
Thật hay đồn: các ví dụ tỷ lệ vàng hay gặp
Bảng dưới tổng hợp tình trạng bằng chứng của những ví dụ thường được kể trên mạng:
| Ví dụ | Kết luận | Ghi chú |
|---|---|---|
| Số xoắn trên hoa hướng dương, quả thông, quả dứa | Phần lớn đúng | Có khảo sát quy mô lớn; vẫn có ngoại lệ |
| Cách xếp lá quanh thân cây | Đúng với nhiều loài | Góc lệch gần 137,5 độ ở nhiều loài, không phải mọi loài |
| Vỏ ốc anh vũ là xoắn ốc vàng | Sai | Là xoắn ốc logarit nhưng tỷ lệ đo được khác xa 1,618 |
| Cơ thể người: rốn chia chiều cao theo 1,618 | Không có cơ sở | Tỷ lệ cơ thể dao động lớn giữa người với người |
| Thiên hà và cơn bão xoắn ốc | Sai | Có hình xoắn nhưng không liên quan tới Fibonacci |
| Khuôn mặt "chuẩn tỷ lệ vàng" mới đẹp | Không có bằng chứng vững | Nghiên cứu về cảm nhận vẻ đẹp cho kết quả không nhất quán |
Vỏ ốc anh vũ là ví dụ bị gắn sai nhiều nhất. Nó đúng là xoắn ốc logarit (mỗi vòng lớn hơn vòng trước theo một tỷ lệ cố định), nhưng khi các nhà toán học đo thật, chẳng hạn bài viết của Clement Falbo năm 2005, tỷ lệ tăng khác xa 1,618 và cũng khác nhau giữa các cá thể. Một xoắn ốc đẹp không nhất thiết là xoắn ốc vàng.
Còn chuyện tỷ lệ vàng trong kiến trúc, hội hoạ thì phần lớn là đo cho khớp sau khi đã có sẵn kết luận: chọn điểm đo tuỳ ý, kiểu gì cũng tìm được một tỷ số gần 1,6.
Vì sao lời đồn về tỷ lệ vàng lan rộng
Lý do đầu tiên là kiểu sai chọn lọc: người ta nhớ những trường hợp khớp và quên những trường hợp lệch. Các tỷ số gần 1,6 rất dễ tìm, vì trong khoảng từ 1,5 đến 1,7 có vô số cặp số đo bất kỳ. Nếu cho phép làm tròn "gần đúng", gần như vật gì cũng có thể "theo tỷ lệ vàng".
Lý do thứ hai là sức hấp dẫn của một câu chuyện gọn: một con số duy nhất nối hoa hướng dương với Mona Lisa và thiên hà nghe như một bí mật vũ trụ. Thực tế khiêm tốn hơn nhưng không kém thú vị: một quy tắc sinh trưởng đơn giản, lặp lại hàng nghìn lần, tự sinh ra cấu trúc toán học đẹp. Không cần thêm điều huyền bí nào.
Lý do thứ ba là quảng cáo: tỷ lệ vàng được dùng để bán khoá học thiết kế, phần mềm "chấm điểm khuôn mặt", thậm chí dịch vụ thẩm mỹ. Khi gặp một lời hứa dựa trên tỷ lệ vàng, hãy hỏi: có nghiên cứu nào so sánh thiết kế theo 1,618 với thiết kế theo tỷ lệ khác, và kết quả thế nào? Thường thì câu trả lời là không có.
Cũng nên nhớ rằng phủ nhận lời đồn không làm phần có thật kém đi. Việc một bông hoa ngoài vườn mang trong mình dãy số mà một nhà toán học thế kỷ 13 viết ra khi tính chuyện nuôi thỏ vẫn là một sự trùng khớp đáng kinh ngạc, và giờ ta còn biết vì sao nó xảy ra. Hiểu đúng giới hạn của quy luật giúp ta trân trọng nó hơn, thay vì bám vào những ví dụ được thổi phồng.
Tự kiểm chứng ở nhà với một quả thông hoặc bông hướng dương
Đây là thí nghiệm nhỏ, hợp làm cùng trẻ em, không cần dụng cụ gì đặc biệt:
- Chọn một quả thông khô hoặc một bông hướng dương đã già hạt, đặt trên giấy trắng dưới ánh sáng tốt.
- Dùng bút dạ hoặc sợi chỉ màu đánh dấu một đường xoắn đi từ tâm ra ngoài theo chiều kim đồng hồ, rồi đếm xem có bao nhiêu đường song song như thế quanh tâm.
- Làm lại với các đường xoắn theo chiều ngược lại, dùng màu khác.
- So hai con số với dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Ghi lại cả những lần không khớp.
- Nếu có nhiều mẫu, đếm thêm vài quả khác và tính xem bao nhiêu phần trăm khớp với dãy Fibonacci.
Bước cuối là phần quan trọng nhất về mặt khoa học: đếm cả trường hợp lệch và tính tỷ lệ, thay vì chỉ giữ lại quả "đẹp". Đó chính là cách dự án Turing's Sunflowers đã làm, và là cách phân biệt một quy luật có thật với một lời đồn được chọn lọc.
Câu hỏi thường gặp
Tỷ lệ vàng chính xác là bao nhiêu?
Tỷ lệ vàng bằng (1 + căn 5) / 2, xấp xỉ 1,6180339887. Đây là số vô tỉ nên phần thập phân kéo dài vô hạn không lặp. Nó có tính chất lạ là bình phương của nó bằng chính nó cộng 1 (khoảng 2,618), còn nghịch đảo của nó bằng chính nó trừ 1 (khoảng 0,618).
Vì sao số Fibonacci lại liên quan tới tỷ lệ vàng?
Vì mỗi số trong dãy là tổng của hai số trước, tỷ số giữa hai số liền nhau buộc phải tiến tới con số x thoả mãn x = 1 + 1/x, và nghiệm dương của phương trình này chính là 1,618. Bất kỳ dãy cộng dồn kiểu này đều có cùng giới hạn, không riêng dãy bắt đầu bằng 1, 1.
Có phải mọi bông hướng dương đều theo dãy Fibonacci?
Không. Khảo sát cộng đồng công bố năm 2016 ở Anh cho thấy phần lớn bông theo dãy Fibonacci hoặc dãy gần giống, nhưng khoảng một phần năm có mẫu khác hoặc không rõ ràng. Điều kiện trồng, tổn thương lúc nhỏ hay đột biến đều có thể làm lệch cách xếp hạt.
Lá cây xếp theo góc vàng để làm gì?
Giả thuyết phổ biến là cách xếp này giúp lá ít che nhau, mỗi lá nhận được nhiều ánh sáng hơn. Tuy nhiên nhiều nhà sinh học cho rằng góc vàng chủ yếu là hệ quả của cơ chế mọc mầm ở chỗ trống, còn lợi ích về ánh sáng là phần phụ, vì lá trưởng thành còn tự xoay theo hướng sáng.
Kiến trúc cổ có dùng tỷ lệ vàng không?
Bằng chứng rất yếu. Những công trình hay được nêu thường không có tài liệu gốc nào cho thấy người xây cố ý dùng 1,618, và kết quả đo phụ thuộc vào việc chọn điểm đo. Một số kiến trúc sư và hoạ sĩ hiện đại thì có chủ ý dùng tỷ lệ này, điều đó được ghi chép rõ ràng.
Ngoài thực vật, Fibonacci còn xuất hiện ở đâu?
Trong toán học và tin học, dãy Fibonacci xuất hiện ở nhiều bài toán đếm, ví dụ số cách leo cầu thang n bậc khi mỗi bước đi một hoặc hai bậc. Trong cây phả hệ của ong mật, ong đực chỉ có mẹ còn ong cái có cả bố lẫn mẹ, nên số tổ tiên mỗi đời của một con ong đực cũng theo dãy Fibonacci.